BAB
I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu yang memiliki interprestasi yang demikian
beragam. Oleh karena itu matematika yang diajarkan di sekolah juga merupakan
bagian dari matematika, maka berbagai karakteristik dan interprestasi matematika
dari berbagai sudut pandang juga memainkan peranan dalam pembelajaran
matematika di sekolah. Dengan memahami karakter matematika, guru diharapkan
dapat mengambil sikap yang tepat dalam pembelajaran matematika. Lebih jauh
lagi, ia seharusnya memahami batasan sifat dari matematika yang dibelajarkan
kepada anak didik. Jangan sampai guru memandang matematika hanya sebagai
kumpulan rumus belaka, tidak pula hanya sebagai proses berpikir saja. Pemahaman
yang komprehensif tentang matematika akan memungkinkan guru menyelenggarakan pembelajaran
dengan lebih baik.
B. Rumusan
Masalah
- Bagaimana
karekteristik matematika yang memiliki kajian objek Abstrak?
- Bagaimana karekteristik matematika yang
bertumpu pada kesepakatan?
- Bagaimana
karekteristik matematika yang berpola pikir deduktif?
- Bagaimana
karekteristik matematika yang memiliki simbol yang kosong dari arti?
C. Tujuan
Penulisan
- Untuk mengetahui
bagaimana karekteristik matematika yang memiliki kajian objek Abstrak.
- Untuk mengetahui bagaimana karekteristik matematika
yang bertumpu pada kesepakatan.
- Untuk mengetahui
bagaimana karekteristik matematika yang berpola pikir deduktif
- Untuk mengetahui
bagaimana karekteristik matematika yang memiliki simbol yang kosong
dari arti.
BAB
II
PEMBAHASAN
A.
Karakteristik
Matematika
1.
Memiliki objek kajian yang bersifat
abstrak:
Objek
matematika adalah objek mental atau pikiran. Oleh karena itu bersifat abstrak.
Objek kajian matematika yang dipelajari di sekolah adalah fakta, konsep,
operasi (skill), dan prinsip.
a.
Fakta adalah sebarang permufakatan
atau kesepakatan atau konvensi dalam matematika. Fakta matematika meliputi
istilah (nama) dan simbol atau notasi atau lambang.
Contoh:
2 adalah simbol untuk bilangan dua.
2 < 3 adalah gabungan simbol dalam mengungkapkan fakta bahwa ‟dua lebih
kecil dari 3‟ atau ‟dua lebih sedikit dari 3‟. Pernyataan bahwa 1 km = 1000 m
adalah salah satu kesepakatan dalam matematika. Kesepakatan lain misalnya pada
garis bilangan, yaitu sebelah kanan 0 adalah bilangan positif, sebelah kiri 0
adalah bilangan negatif.
b.
Konsep adalah ide (abstrak) yang
dapat digunakan atau memungkinkan seseorang untuk mengelompokkan atau
menggolongkan suatu objek, sehingga objek itu termasuk contoh konsep atau bukan
konsep. Suatu konsep dipelajari melalui definisi. Definisi adalah suatu ungkapan
yang membatasi konsep. Melalui definisi orang dapat menggambarkan, atau
mengilustrasikan, atau membuat skema, atau membuat simbol dari konsep itu.
Contoh:
Konsep ‟lingkaran‟ didefinisikan
sebagai ‟kumpulan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap
titik tertentu‟. Selanjutnya disepakati bahwa titik tertentu itu disebut titik
pusat lingkaran. Dengan definisi lingkaran itu selanjutnya orang dapat, membuat
sketsa lingkaran, menggambar bentuk lingkaran. Beberapa konsep merupakan
pengertian dasar yang dapat ditangkap secara alami (tanpa didefinisikan).
Contoh: konsep himpunan. Beberapa konsep lain diturunkan dari konsep-konsep
yang mendahuluinya, sehingga berjenjang. Konsep yang diturunkan tadi memperoleh
elemen dikatakan berjenjang lebih tinggi daripada konsep yang mendahuluinya.[1]
Contoh : konsep relasi –fungsi –
korespondensi satu-satu.
c.
Operasi adalah aturan pengerjaan
(hitung, aljabar, matematika, dll.). untuk tunggal dari satu atau lebih elemen
yang diketahui. Operasi yang dipelajari siswa SD adalah operasi hitung. Contoh:
Pada 2 + 5 = 7, fakta ‟+‟ adalah operasi tambah untuk memperoleh 7 dari
bilangan 2 dan 5 yang diketahui. Elemen yang dihasilkan dari suatu operasi
disebut hasil operasi. Pada contoh, 7 adalah hasil operasi. Elemen hasil
operasi dan yang dioperasikan dapat mempunyai semesta sama atau berbeda. Pada
contoh, bilangan yang dioperasikan dan hasil operasi mempunyai semesta sama
yaitu himpunan bilangan bulat. Operasi ‟uner‟ adalah operasi terhadap satu
elemen yang diketahui. Contoh:
operasi
‟pangkat‟. Operasi ‟biner‟ adalah operasi terhadap dua elemen yang diketahui.
Contoh:
Contoh:
operasi ‟penjumlahan‟, ‟perkalian‟.
Operasi sering pula disebut skill. Skill adalah keterampilan dalam matematika
berupa kemampuan pengerjaan (operasi) dan melakukan prosedur yang harus
dikuasai oleh siswa dengan kecepatan dan ketepatan yang tinggi. Beberapa
keterampilan ditentukan oleh seperangkat aturan atau instruksi atau prosedur
yang berurutan, yang disebut algoritma, misalnya prosedur menyelesaikan
penjumlahan pecahan berbeda penyebut.
d.
Prinsip adalah hubungan antara
berberapa objek dasar matematika sehingga terdiri dari beberapa fakta, konsep
dan dikaitkan dengan suatu operasi. Prinsip dapat berupa aksioma, teorema atau
dalil, sifat, dll. Contoh: Pernyataan bahwa luas persegi panjang adalah hasil
kali dari panjang dan lebarnya merupakan ‟prinsip‟. Pernyataan bahwa persegi
panjang mempunyai 4 sudut siku-siku, sepasang-sepasang sisi yang berhadapan
sejajar dan sama panjang merupakan sifat persegi panjang yang tergolong
‟prinsip‟.
2.
Bertumpu pada kesepakatan
Fakta matematika meliputi
istilah (nama) dan simbol atau notasi atau lambang. Fakta merupakan kesepakatan
atau permufakatan atau konvensi. Kesepakatan itu menjadikan pembahasan
matematika mudah dikomunikasikan. Pembahasan matematika bertumpu pada
kesepakatan- kesepakatan.
Contoh:
Lambang bilangan 1, 2, 3, ... adalah
salah satu bentuk kesepakatan dalam matematika. Lambang bilangan itu menjadi
acuan pada pembahasan matematika yang relevan.
3.
Berpola Pikir Deduktif
Matematika
mempunyai pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif didasarkan pada urutan
kronologis dari pengertian pangkal, aksioma (postulat), definisi, sifat-sifat,
dalil-dalil (rumus-rumus) dan penerapannya dalam matematika sendiri atau dalam
bidang lain dan kehidupan sehari-hari.
Pola pikir deduktif adalah pola
pikir yang didasarkan pada hal yang bersifat umum dan diterapkan pada hal yang
bersifat khusus, atau pola pikir yang didasarkan pada suatu pernyataan yang
sebelumnya telah diakui kebenarannya.
Contoh:
Bila
seorang siswa telah belajar konsep ‟persegi‟ kemudian ia dibawa ke suatu tempat
atau situasi (baru) dan ia mengidentifikasi benda-benda di sekitarnya yang
berbentuk persegi maka berarti siswa itu telah menerapkan pola Pikir deduktif
(sederhana). Pernyataan-pernyataan dalam matematika diperoleh melalui pola
pikir deduktif, artinya kebenaran suatu pernyataan dalam matematika harus
didasarkan pada pernyataan matematika sebelumnya yang telah diakui
kebenarannya.
Dalam buku lain deduktif diperoleh
karena penyelesaian masalah-masalah yang dihadapi tidak didasarkan atas
pengalaman seperti halnya yang terdapat didalam ilmu-ilmu emperis, melainkan
didasarkan atas deduksi-deduksi atau penjabaran-penjabaran. Deduksi ialah
penalaran yang sesuai dengan hukum-hukum serta aturan-aturan logika formal.
Dalam hal ini, tidaklah mungkin titik-titik tolak yang benar menghasilkan
simpulan-simpulan yang tidak benar.
Ilmu
deduktif ialah matametika. Dalam hal ini, sesungguhnya teorema-teorema
matematika tidaklah dibuktikan kebenarannya melalui penyelidikan empiris,
melainkan melalui penjabaran teorema-teorema yang sudah diperoleh sebelumnya,
dan terakhir ini pada gilirannya juga dibuktikan kebenarannya dari
teorema-teorema yang sudah ada sebelumnya, dan begitu seterusnya. Teorema-teorema
matematika dibuktikan kebenarannya berdasarkan atas teorema-teorema yang lain,
dan bukannya berdasarkan atas pengamatan dilapangan.[2]
Dalam bahasa filsafat yang merupakan karakteristiknya- usaha pencarian
kebenaran melalui sebuah titik tolak ini disebut spekulatif. Dengan perkataan
lain, matekamtika adalah pengetahuan yang mempunyai sistem tertutup. Dalam hal
ini, matematika hanya menawarkan pemnyimpulan yang pasti bernilia
benar-penjelasan lebih jauh akan diberikan pada sub bab berikutnya.
Dalam matematika hanya diterima pola
pikir yang bersifatdeduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat
dikatakan pemikiran yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau
diarahkan kepada hal yang bersifat khusus.
pola
pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana, tetapi juga
dapat terwujud dalam bentuk yang tidak
sederhana.
Contoh:
-
Seorang
siswa telah memahami konsep dari “lingkaran”. Ketika berada di dapur, ia dapat
menggolongkan mana peralatan dapur yang berbentuk lingkaran dan mana yang bukan
lingkaran. Dalam hal ini, siswa tersebut telah menggunakan pola pikir deduktif
secara sederhana ketika menunjukan suatu peralatan yang berbentuk lingkaran.
-
Perhatikan
pola jumlah bilangan-bilangan ganjil berikut ini!
1 = 1 x 1 = 1²
1
+ 3 = 2 x 2 = 2²
1 + 3 + 5 = 3 x 3 = 3 ²
1 + 3 + 5 + 7 = 4 x 4 = 4²
…
dan seterusnya
Dari
pola yang terlihat kemudian disimpulkan bahwa:
1
+ 3 + 5 + … + (2n -1) = n² , n adalah
bilangan ganjil.
Penarikkan
kesimpulan dengan pola pikir induktif di atas tidak dapat dibenarkan dalam
matematika. Pendekatan induktif tersebut tidaklah salah, tetapi untuk dapat
diterima sebagai suatu kebenaran harus dapat dibuktikan secara umum (deduktif).
Salah satu bukti
deduktif dapat ditempuh dengan cara
sebagai berikut:
1
+ 3 +
5 + … + (2n – 5) + (2n – 3) + (2n – 1) = S
(2n
– 1) + (2n – 3) + (2n – 5) + … +
5 + 3
+ 1 = S
2n +
2n + 2n
+ … + 2n +
2n + 2n
= 2S
Sebanyak n suku
n. 2n = 2S
sehingga S = ½.n.2n = n² [3]
4.
Memiliki Simbol yang Kosong Arti
Matematika memiliki banyak simbol.
Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk kalimat matematika yang dinamai model
matematika. Secara umum simbol dan model matematika sebenarnya kosong dari
arti, artinya suatu simbol atau model matematika tidak ada artinya bila tidak
dikaitkan dengan konteks tertentu.
Contoh:
simbol
x tidak ada artinya. Bila kemudian kita menyatakan bahwa x adalah bilangan
bulat, maka x menjadi bermakna, artinya x mewakili suatu bilangan bulat. Pada
model matematika x + y = 40, x dan y tidak berarti, kecuali bila kemudian
dinyatakan konteks dari model itu., misalnya: x dan y mewakili panjang suatu
sisi bangun datar tertentu atau x dan y mewakili banyaknya barang jenis I dan
II yang dijual di suatu toko. Kekosongan arti dari simbol-simbol dan
model-model matematika merupakan ‟kekuatan‟matematika, karena dengan hal itu
matematika dapat digunakan dalam berbagai bidang kehidupan.
BAB III
PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan pembahasan, maka dapat di simpulkan
bahwa karakteristik- karakteristik umum matematika yaitu sebagai
berikut:
- Memiliki Kajian Objek Abstrak.
- Berpola pikir Deduktif
- Memiliki Simbol yang Kosong dari Arti.
DAFTAR PUSTAKA
Rahman, Aulia. 2011. Keapriorian
Matematika dalam Perspektik Filsafat Islam. Banjarmasin : Penerbit Antasari
Press.
Fathani, Halim Abdul. 2009. Matematika
Hakikat dan Logika. Jogjakarta: Ar-Ruzz Media.
